A depth-averaged model for the inverse problem of electrocardiographic imaging
Un modèle moyenné en épaisseur pour le problème inverse de l’imagerie électrocardiographique
Résumé
Le problème inverse de l'imagerie électrocardiographique (ECGi) relève d'une grande utilité dans la détection précoce de pathologies graves du rythme cardiaque. Il peut être formalisé comme suit: retrouver le potentiel électrique $u\in H^1(\Omega)$, et la tension $v\in H^1(\Omega_H)$, satisfaisant les équations
\begin{equation}
\label{bidomain_HT}
\left \{
\begin{aligned}
&-\text{div}((\sigma_e + \sigma_i) \nabla u) - \text{div} (\sigma_i \nabla v) = 0 & \text{dans }\Omega_H,\\
& -\text{div}(\sigma_{T} \nabla u ) = 0 & \text{dans } \Omega_T,\\
& -\text{div}(\sigma_{B} \nabla u ) = 0 & \text{dans } \Omega_B,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
assorties de conditions aux limites de flux, tels que la trace $u_{|\Gamma_T}$ du potentiel $u$ sur la surface du torse corresponde aux données $z_T$ observées sur cette même surface. Dans ces équations, les domaines $\Omega_H$, $\Omega_T$ et $\Omega_B$ représentent respectivement le coeur, le torse et le sang, dont l'union est le domaine total $\Omega$. Les tenseurs symétriques définis positifs $\sigma_{i/ e/ T /B}$ sont des tenseurs de conductivité électrique.
Ce problème inverse est notoirement mal posé, et les techniques de résolutions actuelles ne donnent pas de résultats suffisament probants pour être utilisés en clinique \cite{duchateau2019performance}. En particulier, il est difficile de reconstruire la tension $v$ dans le volume du coeur puisque une infinité de tensions $v$ peuvent produire la même observation sur le torse. Une alternative majoritairement utilisée consiste à ne considérer que la surface externe du coeur $\Gamma_H$, appelée épicarde, et résoudre un problème inverse plus simple uniquement dans le domaine du torse $\Omega_T$, dont la frontière interne est l'épicarde. Dans ce cas, la tension $v$ correspondant à la trace $u_{|\Gamma_T}$, si elle existe, peut être retrouvée à une constante additive près.\\
Nous proposons un modèle intermédiaire entre les approches volumique et surfacique, qui incorpore des informations du volume du myocarde et prend en compte les interactions entre les trois domaines, tout en résolvant un problème surfacique sur le coeur par le biais de quantités moyennées. Pour construire ce modèle, nous moyennons la première équation de \eqref{bidomain_HT} dans l'épaisseur du coeur, supposé fin par rapport à sa taille, et nous la couplons avec les deux équations restantes. Cette opération permet de se ramener à un modèle couplé entre un coeur surfacique dans lequel évoluent les quantités moyennes $\Bar{u}$ et $\Bar{v}$ et les domaines extracardiaques, volumiques. Nous prouvons que le problème est bien posé par des arguments classiques.
Le modèle moyenné est ensuite utilisé comme contrainte dans un problème de contôle optimal, visant à retrouver le couple $(\Bar{u}, \Bar{v})$ qui minimise l'écart à des données $z_T$ sur la surface du torse. Nous montrons que, régularisé, ce problème de minimisation quadratique admet une unique solution. Le formalisme Lagrangien est utilisé pour résoudre numériquement le problème de contrôle optimal. Nous présenterons ensuite quelques résultats obtenus en 2D.
Fichier principal
expose_canum2024-8.pdf (8.5 Mo)
Télécharger le fichier
abstract_canum2024-1.pdf (199.25 Ko)
Télécharger le fichier
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
---|
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
---|